Question

抛物线y²=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，O为坐标原点，则

|PF|

|PO|

的最小值是（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线的性质写出准线方程，再由定义得到|PF|=x+1，从而有

|PF|

|PO|

=

x+1

x2+4x

，令x+1=t（t≥1），转化为t的函数，整理配方得到f（t）=

1

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

，由二次函数的对称轴，即可得到最小值．

解答： 解：∵抛物线y²=4x的准线方程为：x=-1，
∴由抛物线的定义可得，|PF|=x+1，
∴

|PF|

|PO|

=

x+1

x2+y2

=

x+1

x2+4x

，
令x+1=t（t≥1），则上式=f（t）=

t

(t-1)2+4(t-1)

=

t

t2+2t-3

=

1

1+ 2 t - 3 t2

=

1

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

，
于是当

1

t

=

1

3

即t=3，即x=2，f（t）取最小为

3

2

，此时P（2，±2

2

）．
故选B．

点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查函数的最值求法，注意运用分式中变量分离法，及配方法，属于中档题．