题目内容
8．已知（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且n是偶数，则a0+$\frac{1}{2}$a1+$\frac{1}{3}$a2+$\frac{1}{4}$a3+…+$\frac{1}{n}$an-1+$\frac{1}{n+1}$an=$\frac{1}{2（n+1）}$．分析 由（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且n是偶数，可得∫（2x-1）ndx=a0x+$\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}{a}_{n}{x}^{n+1}$，化简整理，取x=1即可得出．
解答 解：∵（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且n是偶数，
∴∫（2x-1）ndx=a0x+$\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}{a}_{n}{x}^{n+1}$，
即$\frac{1}{2（n+1）}$（2x-1）n+1+C=a0x+$\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}{a}_{n}{x}^{n+1}$，
令x=1，C=0，可得：a0+$\frac{1}{2}$a1+$\frac{1}{3}$a2+$\frac{1}{4}$a3+…+$\frac{1}{n}$an-1+$\frac{1}{n+1}$an=$\frac{1}{2（n+1）}$，
故答案为：$\frac{1}{2（n+1）}$．
点评 本题考查了二项式定理的应用、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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