Question

【题目】已知函数，，其中a为常数．

当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由；

设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），

【解析】

代入a的值，求出的解析式，判断函数的单调性即可；

由题意把函数有且仅有一个零点转化为有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

（1）由题意，当时，，则，

因为，又由在递减，

所以在递增，

所以根据复合函数的单调性，可得函数在单调递增函数；

由，得，即，

若函数有且只有1个零点，

则方程有且只有1个实数根，

化简得，

即有且只有1个实数根，

时，可化为，即，

此时，满足题意，

当时，由得：

，解得：或，

当即时，方程有且只有1个实数根，

此时，满足题意，

当即时，

若是的零点，则，解得：，

若是的零点，则，解得：，

函数有且只有1个零点，所以或，，

综上，a的范围是，．