Question

【题目】已知函数，当时，的取值范围是.

（1）求的值；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数有3个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) . (2) ；(3)

【解析】

（1）讨论k的取值范围，说明在上的单调性，求出对应的值域，即可求出k的值；

（2）转换为对恒成立，换元求出的最小值即可；

（3）令，则，等价转换为有两个不等的实数解，且两解，满足，，利用根的分布，求出的取值范围.

解：（1）当时，在上是增函数，，与已知不符.

当且时，，当且仅当时，取等号.

在是减函数，在上是增函数.

当时，，，

此时，符合题意.

当时，由题意知，或，，求得而，不合题意.

∴.

（2）可化为，

∴.

∵，∴，

∴，时，取最小值0.

∴即的取值范围是.

（3）由题意知，，

令，则，函数有3个零点，

化为有两个不等的实数解，且两解，满足，，

设，则或，

∴即的取值范围是.