Question

12．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，B¹C的中点为O，且AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）证明：A₁B₁⊥B₁C．
（2）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，BC=1，求点O到平面A₁B₁C₁的距离．

Answer 1

分析 （1）要证A₁B₁⊥B₁C，即证明B₁C⊥AB，即证B₁C⊥平面ABC₁，由菱形的对角线垂直和线面垂直的性质，即可得证；
（2）由线面垂直可得棱锥的高为AO，由直角三角形的性质，可得高，再由棱锥的体积公式，即可得到点O到平面A₁B₁C₁的距离．

解答 （1）证明：AO⊥平面BB₁C₁C，则AO⊥B₁C，
菱形BB₁C₁C，则B₁C⊥BC₁，
AO∩BC₁=O，AO，BC₁?平面ABC₁，
则有B₁C⊥平面ABC₁，
则B₁C⊥AB，
∴A₁B₁⊥B₁C；
（2）解：菱形BB₁C₁C中，∠CBB₁=60°，BC=1，则B₁C=1，
AO⊥平面BB₁C₁C，则AO⊥B₁C，由于AC⊥AB₁，
则AO=$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{1}{2}$，
△ABC中，BC=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{8}$．
设点O到平面A₁B₁C₁的距离为h，则
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{8}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查棱锥的体积公式和运用，考查运算能力，属于中档题．