Question

7．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [15，+∞）
• B． [6，+∞）
• C． （-∞，15]
• D． （-∞，6]

Answer 1

分析 由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法 进行求解即可．

解答 解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞1$，
所以f（p+1）-f（q+1）＞p-q，得[f（p+1）-（p+1）]-[f（q+1）-（q+1）]＞0，
因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）-（x+1）在（0，1）内是增函数，
所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即$\frac{a}{x+2}-（2x+3）＞0$恒成立，
所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，
因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，
所以实数a的取值范围为[15，+∞）．
故选：A．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据不等式进行转化判断函数的单调性，结合参数分离法进行转化是解决本题的关键．