Question

20．如图，PA，PC为圆O的两条不同切线，割线PDB与圆O交于不同两点D，B．
（1）求证：$\frac{AD}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$；
（2）若DA=4，AB=6，BC=3，求线段CD的长度．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理证明△PAD∽△PBA，即可证明：$\frac{AD}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$；
（2）证明$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{CB}$，利用DA=4，AB=6，BC=3，求线段CD的长度．

解答 （1）证明：∵PA是圆O的切线，
∴∠PAD=∠PBA，
∵∠APD=∠BPA，
∴△PAD∽△PBA，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{PA}{PB}$，
∵PA=PC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$；
（2）解：同理可得△CDB∽△PCB，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{PC}{PB}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{CB}$，
∵DA=4，AB=6，BC=3，∴CD=2．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生的计算能力，正确证明三角形相似是关键．