Question

【题目】已知函数，曲线在处的切线交轴于点．

（1）求的值；

（2）若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），求出f（1），可得切线方程，代入（0，）即可求得m值；

（2）把（1）中求得的m值代入函数解析式，设x1＞x2，把对于（1，+∞）内的任意两个数x1，x2，a（x1+x2）转化为，设g（x）＝f（x）﹣ax2，则g（x）＝x2lnxx3+x﹣ax2 在（1，+∞）上为减函数，可得g′（x）＝2xlnx+x﹣x2+1﹣2ax≤0对x＞1恒成立，分离参数a，再由导数求最值得答案．

解：（1）由，得，

，，

∴曲线在处的切线方程为，

则，解得；

（2），

不妨设，对于内的任意两个数，，，

即有，

设，则在上为减函数．

则对恒成立．

可得在上恒成立．

令，，

则在上单调递减，

∴．

∴，即．

∴实数的取值范围是．