Question

【题目】如图①，在中，为直角，，，，沿将折起，使，得到如图②的几何体，点在线段上.

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由余弦定理得出，进而得出；由平面，得出；从而得到平面，即可证明平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：在中，

∵，，，

由余弦定理得，

∴，

∴，∴，即，

又，，，

∴平面，平面

∴，

又，平面∴平面

又平面，∴平面平面

（2）解法一：

如图，以为原点，以为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

∴，，

连结与交于点，连结，

∵平面，为平面与平面的交线，

∴，∴，

在四边形中，∵，∴，

∴，，∴，

设，则，

由，得，∴，∴

设平面的法向量为，

则，取，则，，

∴，

设直线与平面所成角为，则.

即直线与平面所成角的正弦值为.

（2）解法二：

如图，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

∴，，

连结，与交于点，连结，

∵平面，为平面与平面的交线，

∴，∴，

在四边形中，∴，∴，

∴，，，

设，则，

由得：解得，∴，

∴.

设平面的法向量，

则，取，则，，

∴，

设直线与平面所成角为，则.

∴直线与平面所成角的正弦值为.