Question

【题目】已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.

（i）求证：；

（ii）求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）根据题意可知，，，再结合即可解出，得到

椭圆的标准方程；

（Ⅱ）（i）根据直线，的斜率都存在或者直线，其中一条直线斜率不存在分类讨论，当直线，的斜率都存在时，联立直线与椭圆方程，根据可得直线，的斜率的关系，结合点在圆上可得，即证出，当直线或的斜率不存在时，可确定点坐标，即可求出，两点坐标，易得；

（ii）设出点，，分类讨论直线的斜率存在时以及不存在时的情况，由直线的方程与椭圆方程联立可得，即可得到直线的斜率存在或不存在时的方程为，同理可得直线的方程为，即可得直线的方程为，再与椭圆方程联立求得弦长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而得到的面积的表达式，再根据换元法以及函数值域的求法即可求解．

（Ⅰ）∵椭圆的左焦点，∴.

将代入，得.

又，∴，.

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）（i）设点.

①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为.

由，消去，

得.

.

令，整理得.

设直线，的斜率分别为，.∴.

又，∴.

∴，即为圆的直径，∴.

②当直线或的斜率不存在时，不妨设，

则直线的方程为.

∴，，也满足.

综上，有.

（ii）设点，.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由，消去，得.

.

令，整理得.

则.

∴直线的方程为.

化简可得，即.

经验证，当直线的斜率不存在时，

直线的方程为或，也满足.

同理，可得直线的方程为.

∵在直线，上，∴，.

∴直线的方程为.

由，消去，得.

∴，.

∴

.

又点到直线的距离.

∴.

令，.则.

又，∴的面积的取值范围为.