Question

（本题满分12分）设正项数列的前项和，且满足.
（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.

Answer 1

（Ⅰ）；；.猜想，用数学归纳法证明；（Ⅱ）先利用数列知识求和，然后利用放缩法证明或者利用数学归纳法证明

试题分析：（Ⅰ）当n=1时，，得；，得；
，得.猜想                2’
证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.
（ⅱ）假设当n=k时，                       1’
则当n=k+1时，
结合，解得                   2’
于是对于一切的自然数，都有             1’
（Ⅱ）证法一：因为，         3’
  .3’
证法二：数学归纳法
证明：（ⅰ）当n=1时，，，           1’
（ⅱ）假设当n=k时，            1’
则当n=k+1时，
要证：
只需证：
由于
所以               3’
于是对于一切的自然数，都有               1’
点评：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。