Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

3

2

，两个焦点分别为F₁和F₂，椭圆G上一点到F₁和F₂的距离之和为12．圆C：x²+y²+2x-4y-21=0的圆心为点A_k．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△A_kF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）椭圆G的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），求解a，b 即可．（2）利用面积公式求解；点A₁到x轴的距离为2，△A₁F₁F₂的面积为

1

2

|F₁F₂|×2，代入求解即可．

解答： 解：（1）设椭圆G的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
则2a=12，所以a=6，
因为离心率为

3

2

，
所以c=a•e=3

3

．b²=a²-c²=9，
所以椭圆G的标准方程为

x2

36

+

y2

9

=1，
（2）圆C：x²+y²+2x-4y-21=0的方程化为（x+1）²+（y-2）²=25，
所以点A₁的坐标为（-1，2）．
点A₁到x轴的距离为2，
△A₁F₁F₂的面积为

1

2

|F₁F₂|×2=×2a•2=a=6．

点评：本题考察了椭圆的性质，方程，定义，属于中档题，有点难度．