Question

12．已知直线l₁：3x+4ay-2=0（a＞0），l₂：2x+y+2=0．
（1）当a=1时，直线l过l₁与l₂的交点，且垂直于直线x-2y-1=0，求直线l的方程；
（2）求点M（$\frac{5}{3}$，1）到直线l₁的距离d的最大值．

Answer 1

分析 （1）联立两个直线解析式先求出l₁和l₂的交点坐标，然后利用直线与直线x-2y-1=0垂直，根据斜率乘积为-1得到直线l的斜率，写出直线l方程即可；
（2）由直线l₁过定点，把点M到直线l₁的距离d的最大值转化为两点间的距离求解．

解答 解：（1）当a=1时，直线l₁：3x+4y-2=0，l₂：2x+y+2=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-2=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得交点（-2，2）．
又由直线l垂直于直线x-2y-1=0，则直线x-2y-1=0的斜率${k}_{3}=\frac{1}{2}$，
∵两直线垂直得斜率乘积为-1，
得到k_l=-2．
∴直线l的方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0．
（2）直线l₁：3x+4ay-2=0（a＞0）过定点N（$\frac{2}{3}，0$），
又M（$\frac{5}{3}，1$），
∴点M到直线l₁的距离d的最大值为|MN|=$\sqrt{（\frac{5}{3}-\frac{2}{3}）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了求两条直线交点坐标的方法，考查直线方程的点斜式，考查数学转化思想方法，是中档题．