Question

12．已知不等式$\frac{a-5}{x}$＜|1+$\frac{1}{x}$|-|1-$\frac{2}{x}$|＜$\frac{a+2}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）不等式|x-1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2^x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可．

解答 解：（1）∵x＞0，∴1+$\frac{1}{x}$＞0，
不等式$\frac{a-5}{x}$＜|1+$\frac{1}{x}$|-|1-$\frac{2}{x}$|＜$\frac{a+2}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，
即不等式$\frac{a-5}{x}$＜1+$\frac{1}{x}$-|1-$\frac{2}{x}$|＜$\frac{a+2}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x-2|}{x}＜\frac{x-a+6}{x}}\\{\frac{|x-2|}{x}＞\frac{x-a-1}{x}}\end{array}\right.$对x∈（0，+∞）恒成立．
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+a-6＜x-2＜x-a+6}\\{x-2＞x-a-1或x-2＜-x+a+1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-a+6}\\{-2＞-a-1}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜8；
（2）∵x＞0，∴x+1＞0，
令f（x）=|x-1|+|x+1|，
∴f（x）=|x-1|+x+1=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
由（1）a=8时，得：2x＜8，解得：x＜4，
故集合A的最大范围是（0，4），
由4≤2^x≤8，解得：2≤x≤3，
故集合B=[2，3]，
故A∩B不一定是空集．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查集合的关系以及分类讨论思想，是一道中档题．