Question

12．在平面直角坐标系中，已知A（-1，2），B（2，1），C（1，0）．
（Ⅰ）判定三角形ABC形状；
（Ⅱ）求过点A且在x轴和在y轴上截距互为倒数的直线方程；
（Ⅲ）已知l是过点A的直线，点C到直线l的距离为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明k_AC•k_BC=-1，即可判定三角形ABC形状；
（Ⅱ）设出直线的方程，代入A的坐标，即可求过点A且在x轴和在y轴上截距互为倒数的直线方程；
（Ⅲ）分类讨论，利用点C到直线l的距离为2，求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）k_AC=-1，k_BC=1…（1分）k_AC•k_BC=-1，所以三角形ABC为直角三角形．…（3分）
（Ⅱ）设所求直线方程为$\frac{x}{a}+ay=1\;（a≠0）$，
则$\frac{-1}{a}+2a=1$即$a=-\frac{1}{2}$或a=1，
所以$-2x-\frac{1}{2}y=1$或x+y=1，
即得所求直线方程为4x+y+2=0或x+y-1=0．…（6分）
（Ⅲ）①当直线l的斜率不存在时l的方程为x=-1，此时点C到直线的距离为2，符合题意．（7分）
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x+1），
即kx-y+k+2=0，
所以点C到直线的距离$d=\frac{{|{2k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，k=0，
所以直线l的方程为y-2=0．…（9分）
综上可知，直线l的方程为x+1=0和y-2=0．…（10分）

点评 本题考查直线方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．