题目内容
17．点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x-y-1=0，则实数k的值为2．分析 求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x-y-1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．
解答 解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×$\frac{1}{x}$+1=$\frac{3}{x}$+1，
把x=x0代入y′得到切线的斜率k=$\frac{3}{{x}_{0}}$+1，
因切线方程为：4x-y-1=0，∴k=4，
∴$\frac{3}{{x}_{0}}$+1=4，得x0=1，
把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），
再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，
∴k=2．
故答案为：2．
点评 本题主要考查学生根据曲线的导函数求切线的斜率，利用切点和斜率写出切线的方程．属于中档题．
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