Question

20．先观察不等式（a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$）（b${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$）≥（a₁b₁+a₂b₂）²（a₁、a₂、b₁、b₂∈R）的证明过程：设平面向量$\overrightarrow{α}$=（a₁，b₁），$\overrightarrow{β}$=（a₂，b₂），则|$\overrightarrow{α}$|=$\sqrt{{a}_{1}^{2}+{b}_{1}^{2}}$，|$\overrightarrow{β}$|=$\sqrt{{a}_{2}^{2}+{b}_{2}^{2}}$，$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=a₁a₂+b₁b₂．
∵|$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$|≤|$\overrightarrow{α}$|•|$\overrightarrow{β}$|，
∴|a₁a₂+b₁b₂|≤$\sqrt{{a}_{1}^{2}{+b}_{1}^{2}}$•$\sqrt{{a}_{2}^{2}+{b}_{2}^{2}}$，
∴（a₁a₂+b₁b₂）²≤（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$），
再类比证明：（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$）≥（a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂）²．

Answer 1

分析 利用类比的方法，结合向量的运算，即可证明结论．

解答 解：设空间向量$\overrightarrow{α}$=（a₁，b₁，c₁），$\overrightarrow{β}$=（a₂，b₂，c₂），则|$\overrightarrow{α}$|²=a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$，|$\overrightarrow{β}$|²=a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$，
$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂，
∵|$\overrightarrow{α}$•β|≤|$\overrightarrow{α}$|•|$\overrightarrow{β}$|，
∴|a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂|²≤（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$）
∴（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$）≥（a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂）²．

点评 本题是中档题，考查不等式的证明与应用，考查的阅读能力，知识的应用能力，逻辑推理能力．