题目内容

椭圆 $数学公式$ 的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点 $数学公式$ 的直线与椭圆相交于A，B两点，且 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，
∴F₂是F₁E的中点，从而 $\text{[math]}$ ，整理，得a²=3c²，
∴离心率 $\text{[math]}$
（2 ）由（1）得b²=a²-c²=2c²，所以椭圆的方程可写为2x²+3y²=6c²
设直线AB的方程为 $\text{[math]}$ ，即y=k（x-3c）
由已知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则它们的坐标满足方程组 $\text{[math]}$
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．
依题意，△=48c²（1-3k²）＞0，∴ $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ① $\text{[math]}$ ②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x₂③
联立①③解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将x₁，x₂代入②中，解得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先确定F₂是F₁E的中点，进而可得几何量之间的关系，即可求得椭圆的离心率；
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，利用B为线段AE的中点，结合韦达定理，可求直线AB的斜率．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的向量，考查向量知识，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．