Question

4．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分别为边BC，CD上的两个动点且MN=$\sqrt{2}$，则$\overline{AM}$•$\overline{AN}$的取值范围为（　　）

• A． [4，8-2$\sqrt{2}$]
• B． [4-2$\sqrt{2}$，8]
• C． [4，8+2$\sqrt{2}$]
• D． [4-2$\sqrt{2}$，8-2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 如图所示，设M（2，y），N（x，2），$（2-\sqrt{2}≤x≤2，2-\sqrt{2}≤y≤2）$．由于MN=$\sqrt{2}$，可得（x-2）²+（y-2）²=2．则$\overline{AM}$•$\overline{AN}$=2x+2y=t，数形结合即可得出．

解答 解：如图所示，
设M（2，y），N（x，2），$（2-\sqrt{2}≤x≤2，2-\sqrt{2}≤y≤2）$．
∵MN=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，化为（x-2）²+（y-2）²=2．
则$\overline{AM}$•$\overline{AN}$=2x+2y=t，
由$\frac{|4+4-t|}{\sqrt{8}}$=$\sqrt{2}$，解得t=4或12（舍去）．
把x=2$-\sqrt{2}$，y=2代入可得t=8-2$\sqrt{2}$．
综上可得：t∈$[4，8-2\sqrt{2}]$．
故选：A．

点评 本题考查了数量积运算性质、两点之间的距离公式、直线与圆相切相交性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．