Question

9．已知三棱锥E-ABD各个面均为直角三角形，且Rt△ADE的直角顶点为A，其中AE=AB，∠ABD=$\frac{π}{6}$，以AB为直径在平面ABD内画圆，且经过点D，任取圆上一点C（不与A，B两点重合）．
（1）求证：△BCE为直径三角形；
（2）若四边形ABCE为一个等腰梯形，且BC=1，求几何体C-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面ACE，可得BC⊥EC，从而△BCE为直角三角形；
（2）几何体C-BDE的体积=几何体E-BCD的体积，利用体积公式可得结论．

解答 （1）证明：由题意，AE⊥平面ABD，则AE⊥BC，
∵AB为直径，∴AC⊥BC，
∵AC∩AE=A，
∴BC⊥平面ACE，
∴BC⊥EC，
∴△BCE为直角三角形；
（2）解：由∠ABD=$\frac{π}{6}$，四边形ABCD为一个等腰梯形，且BC=1，可得DC=1，∠BCD=120°，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵AE=AB=2
∴几何体C-BDE的体积=几何体E-BCD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．