Question

13．设奇函数f（x）（x∈R）在（-∞，0）内是减函数，且有f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由函数f（x）是定义在R上的奇函数，并在区间（-∞，0）内单调递减，则f（x）在（0，+∞）内递减．由配方可得2a²+a+1，3a²-2a+1均恒正，即有2a²+a+1＞3a²-2a+1，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：由奇函数f（x）（x∈R）在（-∞，0）内是减函数，
则有f（x）在（0，+∞）内递减．
由2a²+a+1=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$＞0恒成立，3a²-2a+1=3（a-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$＞0恒成立，
则f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），
即为2a²+a+1＞3a²-2a+1，
即a²-3a＜0，
解得0＜a＜3．
则a的取值范围是（0，3）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，利用配方结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．，考查运算能力，属于基础题和易错题．