Question

已知f（x）=x²（1nx-a）+a，则下列结论中错误的是（　　）

• A、?a＞0，?x＞0，f（x）≥0
• B、?a＞0，?x＞0，f（x）≤0
• C、?a＞0，?x＞0，f（x）≥0
• D、?a＞0，?x＞0，f（x）≤0

Answer 1

考点：全称命题

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=-

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e^2a-1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决

解答： 解：∵f（x）=x²（1nx-a）+a，x＞0，
∴f′（x）=x（21nx-2a+1），
令f′（x）=0，解得x=ea-

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，
当x∈（0，ea-

1

2

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（ea-

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2

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x=ea-

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，函数有最小值，最小值为f（ea-

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）=-

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2

e^2a-1+a
∴f（x）≥f（ea-

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）=-

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2

e^2a-1+a，
若f（x）≥0恒成立，
只要-

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e^2a-1+a≥0，
设g（a）=-

1

2

e^2a-1+a，
∴g′（a）=1-e^2a-1，
令g′（a）=0，解得a=

1

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当a∈（

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，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
当x∈（0，

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）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增
∴g（a）＜g（

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）=0，
∴-

1

2

e^2a-1+a≤0，当且仅当a=

1

2

时取等号，存在唯一的实数a=

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2

，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，
当a≠

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2

时，f（x）＜0，故C错误
故选：C

点评：本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题