Question

在平面直角坐标系中，O（0，0），P（4，3），将向量

OP

按顺时针旋转

π

4

后，得向量

OQ

，则点Q的坐标是（　　）

• A、（

  7 2

  2

  ，-

  2

  2

  ）
• B、（-

  7 2

  2

  ，

  2

  2

  ）
• C、（-2

  6

  ，-1）
• D、（2

  6

  ，-1）

Answer 1

考点：平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：方法一：利用复数与向量的对应关系、运算性质及变换即可得出．
方法二：利用向量的模和夹角公式即可得出．

解答： 解：方法一：∵平面直角坐标系中，O（0，0），P（4，3），
∴

OP

=（4，3），
将向量

OP

按顺时针旋转

π

4

后，得向量

OQ

，
∴

OQ

所对应的复数z=（4+3i）（cos（-

π

4

）+isin（-

π

4

））
=（4+3i）（

2

2

-

2

2

i）
=

7 2

2

-

2

2

i；
∴点Q的坐标是（

7 2

2

，-

2

2

）．
方法二：设点Q（x，y），由题意得|

OQ

|=|

OP

|，
∴

x2+y2

=5①；
又cos＜

OP

，

OQ

＞=

OP • OQ

| OP |•| OQ |

=

4x+3y

5×5

=

2

2

，
∴8x+6y=25

2

②；
由①、②联立得

x2+y2=25 8x+6y=25 2

，
解得

x= 7 2 2 y=- 2 2

或

x= 2 2 y= 7 2 2

，
其中

x= 2 2 y= 7 2 2

不符合题意，应舍去；
∴点Q的坐标是（

7 2

2

，-

2

2

）．
故选：A．

点评：本题考查了平面向量的旋转与平移的应用问题，解题时应熟练地应用向量的模与夹角公式进行运算，是综合性题目．