题目内容
对任意x、y，f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-2．
（1）求证：f（x）是R上的减函数；
（2）若?x∈R，不等式f（ax2）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．
（1）求证：f（x）是R上的减函数；
（2）若?x∈R，不等式f（ax2）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．
考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质
专题：计算题,证明题,函数的性质及应用
分析：（1）令x=y=0，得到f（0）=0，令y=-x，则f（x）为奇函数，令x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＜0，即有f（x2）+f（-x1）＜0，即可得证；
（2）由于f（1）=-2，得到f（-2）=4．原不等式即为f（ax2）＜3f（x）+f（-2），由条件即得f（ax2）＜f（3x-2），再由单调性，得到不等式恒成立，应用判别式小于0，即可得到a的取值范围．
（2）由于f（1）=-2，得到f（-2）=4．原不等式即为f（ax2）＜3f（x）+f（-2），由条件即得f（ax2）＜f（3x-2），再由单调性，得到不等式恒成立，应用判别式小于0，即可得到a的取值范围．
解答：
（1）证明：由于f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则f（0）=2f（0），f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，则f（x）为奇函数，
令x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＜0，即有f（x2）+f（-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
故f（x）是R上的减函数；
（2）解：由于f（1）=-2，则f（-1）=2，f（-2）=4．
f（ax2）-2f（x）＜f（x）+4即为f（ax2）＜3f（x）+f（-2），
即有f（ax2）＜f（3x-2），
由于f（x）是R上的减函数，则ax2＞3x-2恒成立，
则a＞0，且9-8a＜0，故a＞
．
故a的取值范围是（
，+∞）．
令x=y=0，则f（0）=2f（0），f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，则f（x）为奇函数，
令x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＜0，即有f（x2）+f（-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
故f（x）是R上的减函数；
（2）解：由于f（1）=-2，则f（-1）=2，f（-2）=4．
f（ax2）-2f（x）＜f（x）+4即为f（ax2）＜3f（x）+f（-2），
即有f（ax2）＜f（3x-2），
由于f（x）是R上的减函数，则ax2＞3x-2恒成立，
则a＞0，且9-8a＜0，故a＞
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故a的取值范围是（
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点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性和单调性及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．
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