Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）写出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）先根据数列的前n项的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出S_n．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有S_k=$\frac{2k}{k+1}$，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答 解：（1）：∵a₁=1，S_n=n²a_n，∴S₁=a₁=1，
当n=2时，S₂=a₁+a₂=4a₂，解得a₂=$\frac{1}{3}$，S₂=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃=9a₃，解得a₃=$\frac{1}{6}$，S₃=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
当n=4时，S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，解得a₄=$\frac{1}{10}$，S₄=$\frac{8}{5}$，
∴S_n=$\frac{2n}{n+1}$
（2）下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即S_k=$\frac{2k}{k+1}$，
则当n=k+1时，则S_k+1=（k+1）²a_k+1=（k+1）²（S_k+1-S_k），
∴（k²+2k）S_k+1=（k+1）²S_k=（k+1）²$\frac{2k}{k+1}$，
∴S_k+1=$\frac{2（k+1）}{k+2}$
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S_n=$\frac{2n}{n+1}$，
∵S_n=n²a_n，
∴a_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2n}{n+1}}{{n}^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$

点评 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．