Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲证PA∥平面BFD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BFD内一直线平行，连接AC，BD与AC交于点O，连接OF，根据中位线可知OF∥PA，OF?平面BFD，PA?平面BFD，满足定理所需条件；
（Ⅱ）根据条件可知PA⊥AC，AC⊥BD．OF∩BD=O，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面BDF，作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，
所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角．在Rt△FOB中，求出OH，从而求出∠OHC的正切值，最后根据二面角C-BF-D的平面角与二面角P-BF-D的平面角互补求出所求即可．
解答：证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．
∵OF?平面BFD，PA?平面BFD，∴PA∥平面BFD．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，∴OF⊥AC．∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．
作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，
所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角．ABCDPA=AD=AC，
∴，．
在Rt△FOB中，OH=PA，
∴．
∴二面角C-BF-D的大小为
∵二面角C-BF-D的平面角与二面角P-BF-D的平面角互补
∴二面角P-BF-D的大小为π-
点评：求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角，属于综合题．