Question

13．已知函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期．
（2）设△ABC的内角为A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=$\sqrt{3}$，f（C）=$\frac{3}{2}$且sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）首先，利用辅助角公式化简函数解析式，然后，确定其最小值和周期即可；
（2）结合余弦定理和正弦定理求解．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函数的最小值为-$\frac{1}{2}$，
周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵f（C）=$\frac{3}{2}$，
∴f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，
∴b=2a，
根据余弦定理，得
c²=a²+b²-2abcosC，
∴3=a²+4a²-4a²×$\frac{1}{2}$，
∴a=1，b=2．

点评 本题重点考查了三角公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．