Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$为偶函数，可得f（-x）=f（x），即可求a的值；
（2）f（x）=$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，即可求其最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴$\frac{{4}^{-x}+a}{{2}^{-x}}$=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$，
∴a=1；
（2）f（x）=$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
x=0时，函数的最小值为2．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．