Question

3．从抛物线y²=2x上的点A（x₀，y₀）（x₀＞2）向圆（x-1）²+y²=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8．

Answer 1

分析 设B（0，y_B），C（0，y_C），A（x₀，y₀），其中x₀＞2，写出直线AB的方程为（y₀-y_B）x-x₀y+x₀y_B=0，由直线AB与圆相切可得（x₀-2）y_B²+2y₀y_B-x₀=0，同理：（x₀-2）y_A²+2y₀y_A-x₀=0，故y_A，y_B是方程（x₀-2）y²+2y₀y-x₀=0的两个不同的实根，因为S=$\frac{1}{2}$|y_C-y_B|x₀，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．

解答 解：设B（0，y_B），C（0，y_C），A（x₀，y₀），其中x₀＞2，
所以直线AB的方程，化简得（y₀-y_B）x-x₀y+x₀y_B=0
直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x₀-2）y_B²+2y₀y_B-x₀=0
同理可得：（x₀-2）y_A²+2y₀y_A-x₀=0，
故y_C，y_B是方程（x₀-2）y²+2y₀y-x₀=0的两个不同的实根，
所以y_C+y_B=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$，y_Cy_B=$\frac{{x}_{0}}{2-{x}_{0}}$，
所以S=$\frac{1}{2}$|y_C-y_B|x₀=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-2}$=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8，
所以当且仅当x₀=4时，S取到最小值8，
所以△ABC的面积的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及直线与圆的位置关系，正确利用韦达定理是解题的关键．