Question

15．过抛物线y²=4x的焦点F作直线l，与抛物线分别交于A、B两点（A点在第一象限），若S_△AOB=3S_△FOB，则直线l的斜率k=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、S_△AOB=3S_△FOB即可得出．

解答 解：抛物线y²=4x，∴焦点F（1，0）
设直线AB方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB的方程与抛物线的方程联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
∵S_△AOB=3S_△FOB，
∴y₁=-2y₂．          ②
联立①和②，消去y₁，y₂，得m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直线AB的斜率是2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了直线与抛物线的相交问题，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、直线的斜率公式是解题的关键．