Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，

试题分析：（Ⅰ）先证平面可得。同理可证，最后根据线面垂直的判定定理可得平面。（Ⅱ）可建系用空间向量法，先求边长得点的坐标即可得向量的坐标。先求面和面的法向量，再求两个法向量所成角的余弦值。两法向量所成的角与二面角相等或互补。需观察图像的二面角的余弦值。（Ⅲ）假设棱上存在点满足条件。设。在（Ⅱ）以求出面的法向量，根据线面角的定义可知直线与平面所成的角正弦值等于与面的法向量所成角的余弦值的绝对值。列式求，若则说明假设成立，否则假设不成立。
试题解析：（Ⅰ）证明：在正方形中，.
因为，，
所以 平面．                                      1分
因为 平面，
所以 ．                                            2分
同理，．
因为 ，
所以 平面．                                    3分
（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）知平面．

因为平面，
所以．                                            4分
因为，，
所以．
分别以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可得：，，，．
所以，，，．
设平面的一个法向量，
则 即 令，得.
所以．
同理可求：平面的一个法向量．                6分
所以．
所以二面角的余弦值为．                      8分
（Ⅲ）存在．理由如下：
若棱上存在点满足条件，设，．
所以．       9分
因为平面的一个法向量为．
所以．
令解得：.
经检验．
所以棱上存在点，使直线与平面所成的角是，此时的长为．                  11分