Question

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁、O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O。

（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠A₁AB＝60°，求平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面与平面的夹角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）求证平面平面，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，注意到在底面上的射影是，即平面，由图像可知只需证明即可，因此可连，则为的交点，易知四边形为平行四边形，从而得，这样就得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）平面与平面的夹角的余弦值，可用传统方法，找二面角的平面角，过点作，垂足为，连接，由三垂线定理得，∴为二面角的平面角，在中求出此角即可；也可用空间向量法，如图分别以为轴建立空间直角坐标系，分别找出两个半平面的法向量，利用法向量来求平面与平面的夹角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）连结AC,BD, A₁C₁,则O为AC,BD的交点O₁为A₁C₁,B₁D₁的交点。
由平行六面体的性质知：A₁O₁∥OC且A₁O₁=OC,四边形A₁OCO₁为平行四边形，      (2分)
A₁O∥O₁C. 又∵A₁O⊥平面ABCD，O₁C⊥平面ABCD,             (4分)
又∵O₁C平面O₁DC, 平面O₁DC⊥平面ABCD。       (6分)

（Ⅱ）由题意可知RtA₁OB≌RtA₁OA,则A₁A=A₁B，
又∠A₁AB=60⁰，故A₁AB是等边三角形。                  (7分)
不妨设AB="a," 则在RtA₁OA中，OA=a, AA₁="a," OA₁=a,
如图分别以OB,OC,OA₁为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，
则可得坐标为A(0,-a,0), B(a,0,0), A₁(0,0,,a)         (8分)
=(a,a,0)，  =(-a,0,a)
设平面ABA₁的法向量为=(x,y,z)
则由·=0得x+y=0,由·=0得x-z=0
令x=1得=(1,-1,1)                                      (10分)
又知BD⊥平面ACC₁A₁，故可得平面CAA₁的一个法向量为=(1,0,0)
cosθ=||=
从而平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值为。         (12分)