Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）在区间（0，

2

3

）上递增，在区间[

2

3

，+∞）递减，求a的值；
（2）当x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈（

3

2

，+∞），求tanθ的取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点．若存在，求实数m的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由f′（x）=-3x²+2ax，且f′（

2

3

）=0，从而求出a=1；
（2）x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=-3(x-

a

3

)2+

a2

3

，由a∈（

3

2

，+∞），得

a

3

∈（

1

2

，+∞），分别讨论①

a

3

∈（

1

2

，1]，②

a

3

∈（1，+∞），从而求出tanθ的取值范围；
（3）函数y=f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的图象恰有3个交点，等价于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1恰有3个不等实根，则

△=16-4(1-m)＞0 1-m≠0

，解出即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax，
∴f′（

2

3

）=0，
即：-3(

2

3

)2+2a•

2

3

=0
解得：a=1，
（2）x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=-3(x-

a

3

)2+

a2

3

，
由a∈（

3

2

，+∞），得

a

3

∈（

1

2

，+∞），
①

a

3

∈（

1

2

，1]，即a∈（

3

2

，3]时，
f′（x）_max=

a2

3

，f′（x）_min=f′（0）=0，
此时0≤tanθ≤

a2

3

，
②

a

3

∈（1，+∞），即a∈（3，+∞）时，
f′（x）_max=f′（1）=2a-3，f′（x）_min=f′（0）=0，
此时，0≤tanθ≤2a-3，
∵θ∈[0，π），
∴当

3

2

＜a≤3时，0≤tanθ≤

a2

3

，
当a＞3时，0≤tanθ≤2a-3，
（3）函数y=f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的图象恰有3个交点，
等价于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1恰有3个不等实根，
∴x⁴-4x³+（1-m）x²=0，
显然x=0是其中一个根（二重根），
方程x²-4x+（1-m）=0有两个非零不等实根，
则

△=16-4(1-m)＞0 1-m≠0

，
∴m＞-3且m≠1，
故当m＞-3且m≠1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有3个交点．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．