Question

【题目】三棱柱中，平面平面，，，，点F为棱的中点，点E为线段上的动点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）首先根据题意得到，利用平面平面的性质得到平面，从而得到，根据勾股定理得到，从而得到，利用线面垂直的判定得到平面，从而证明.

（2）以点为原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值即可.

（1）因为，为中点，所以.

因为平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，而平面，故，

又因为，所以，

又因为在三棱柱中，，

所以，，

又，故平面，

又平面，所以.

（2）以点为原点，以，，为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设，由得：，

又，设平面的法向量为，

，

因为，

设直线与平面所成角为，则，

解得：.

又平面的一个法向量，

又，

，

设平面的一个法向量为，

则，

则平面的一个法向量为

设二面角的平面角为，

则，

又因为二面角的平面角为锐角，

则二面角的余弦值为.