Question

13．设直角坐标平面上的三点为O（0，0），A（5，0），B（0，t），（t≠0），点P是线段AB上的动点，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$≥10的概率为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{AB}$=（5-5λ，λt），0≤λ≤1，再根据则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$≥10，可得λ≤$\frac{3}{5}$，由此可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$≥10的概率．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{AB}$=（5，0）+λ （-5，t）=（5-5λ，λt），0≤5-5λ≤5，即0≤λ≤1．
∴由 $\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=（5-5λ）•5=25（1-λ）≥10，可得λ≤$\frac{3}{5}$．
故λ≤$\frac{3}{5}$ 的概率为$\frac{\frac{3}{5}}{1}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，古典概率及其求法，属于中档题．