Question

8．已知函数f（x）=msin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R，若tanα=2$\sqrt{3}$且f（α）=-$\frac{3}{26}$．
（1）求实数m的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系和已知条件f（α）=-$\frac{3}{26}$求得$\frac{{4\sqrt{3}m}}{13}-\frac{-11}{26}-1=-\frac{3}{26}$，由此得到m的值；则易得函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，根据正弦函数的性质来求最小正周期；
（2）利用（1）中得到的函数解析式和正弦函数的单调增区间解答．

解答 解：（1）$f（α）=msin2α-\frac{1}{2}cos2α-1=m•\frac{2tanα}{{1+{{tan}^2}α}}-\frac{1}{2}•\frac{{1-{{tan}^2}α}}{{1+{{tan}^2}α}}-1=\frac{{4\sqrt{3}m}}{13}-\frac{-11}{26}-1$，
又∵$f（α）=-\frac{3}{26}$，
∴$\frac{{4\sqrt{3}m}}{13}-\frac{-11}{26}-1=-\frac{3}{26}$，即$m=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
故$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1=sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1$，
∴函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）f（x）的递增区间是$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
∴$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，所以在[0，π]上的递增区间是[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性．考查了学生基础知识的综合运用．