题目内容

设f(x)=
a
•
b
．其中向量
a
=(
2
sinωx，
2
cosωx+1)，
b
=(
2
cosωx，
2
cosωx-1)
（1）当ω=1，x∈(0，
π
2
)时，求函数f（x）的值域；
（2）当ω=-1时，求函数f（x）的单调递减区间．
分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，可得f（x）=
a
•
b
=
2
sin(2ωx+
π
4
)，由ω=1，x∈(0，
π
2
)，求出相位角的取值范围，结合正弦型函数的图象和性质，可得函数f（x）的值域；
（2）当ω=-1时，函数f（x）=-
2
sin(2x-
π
4
)，则函数f（x）的单调递减区间即求f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)的单调递增区间，由正弦函数的单调性，构造不等式，解不等式可得函数f（x）的单调递减区间．
解答：解：∵
a
=(
2
sinωx，
2
cosωx+1)，
b
=(
2
cosωx，
2
cosωx-1)
∴f（x）=
a
•
b
=2sinωxcosωx+2cos2ωx-1=sin2ωx+cos2ωx
=
2
sin(2ωx+
π
4
)…（3分）
（1）当ω=1时，f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)
∵x∈(0，
π
2
)，∴
π
4
＜2x+
π
4
＜
5π
4
，-
2
2
＜sin(2x+
π
4
)≤1，
∴-1＜f(x)≤
2
，函数f（x）的值域是(-1，
2
]．…（7分）
当ω=-1时，f(x)=
2
sin(-2x+
π
4
)=-
2
sin(2x-
π
4
)
求函数f（x）的单调递减区间即求f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)的单调递增区间
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2

得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
，k∈Z
∴当ω=-1时，函数f（x）的单调递减区间是[kπ-
π
8
，kπ+
3π
8
]，k∈Z．…（12分）
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，两角和与差的正弦函数，正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
（2013•成都一模）已知
a
=(cosx+sinx， sinx)， 
b
=(cosx-sinx， 2cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
已知向量
a 
=(
3
sinwx，coswx)， 
b 
=(coswx，coswx)，（其中w＞0）．设f(x)=
a 
•
b 
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求w；
（2）若0＜x≤
π
3
，求f（x）的值域．
（2012•湖北模拟）已知函数
a
=(cos2x，-1)，
b
=(1，cos(2x-
π
3
))，设f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围．
已知
a
=(cosx，cosx+sinx)，
b
=(2sinx，cosx-sinx)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
若
a
=(cos
x
2
+sin
x
2
，-sin
x
2
)，
b
=(cos
x
2
-sin
x
2
，2cos
x
2
)，设f(x)=
a
•
b
；
（1）求 f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）当
a
⊥
b
时，求x的值．
（3）若x∈[
π
12
，
5π
6
]，求 f（x）的值域．

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