Question

（2013•成都一模）已知

a

=(cosx+sinx， sinx)， 

b

=(cosx-sinx， 2cosx)，设f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为

2

sin(2x+

π

4

)，从而求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 根据x得范围求出2x+

π

4

的范围，由正弦函数的定义域和值域求出f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
∴当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

；
当2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

时，f（x）有最小值-1．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，化简函数的解析式为

2

sin(2x+

π

4

)，
是解题的关键．