题目内容

已知向量
a 
=(
3
sinwx，coswx)， 
b 
=(coswx，coswx)，（其中w＞0）．设f(x)=
a 
•
b 
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求w；
（2）若0＜x≤
π
3
，求f（x）的值域．
分析：（1）根据题意并且结合三角的有关公式可得：f（x）=sin(2wx+
π
6
)+
1
2
，再结合周期的计算公式可得答案．
（2）由0＜x≤
π
3
可得
π
6
＜2x+
π
6
≤
5
6
π，再利用正弦函数的性质得到答案．
解答：解：（1）因为f(x)=
a
•
b
，并且
a
=(
3
sinwx，coswx)，
b
=(coswx，coswx)，
所以f(x)=
3
sinwx•coswx+cos2wx=
3
2
sin2wx+
1
2
(1+cos2wx)=sin(2wx+
π
6
)+
1
2

所以结合周期的计算公式可得：T=π=
2π
2w
，即w=1．
（2）由（1）得：f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2

∵0＜x≤
π
3

∴
π
6
＜2x+
π
6
≤
5
6
π
∴
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
∴f（x）的值域为[1，
3
2
]．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量的数量积运算与两角和的正弦公式、二倍角公式，以及三角函数的周期公式与三角函数的有关性质，此题综合性较强属于中档题型，此类型的题也是高考命题的热点之一．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(
3
sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，则
a
•
b
的最大值为
 
．
已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=（cosωx，-cosωx），ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期为
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．
已知向量
a
=(
3
sin(π-ωx)，cosωx)，
b
=(cosωx，-cosωx)，函数f(x)=
a
•
b
+
1
2
（ω＞0）的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若cosx≥
1
2
，x∈(0，π)，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．
已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=(cosωx，cosωx)，ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，
若函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）当0＜x≤
π
3
时，试求f（x）的值域；
（3）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=(cosωx，cosωx)其中ω＞0，记函数f(x)=
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）说出由y=sinx的图象经过如何的变换可得到f（x）的图象；
（3）当0＜x＜
π
3
时，试求f（x）的值域．

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