Question

若

a

=(cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

)，

b

=(cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

)，设f(x)=

a

•

b

；
（1）求 f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）当

a

⊥

b

时，求x的值．
（3）若x∈[

π

12

，

5π

6

]，求 f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式已经两角和的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求 f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）当

a

⊥

b

时，数量积为0，直接求出x的值．
（3）若x∈[

π

12

，

5π

6

]，求出(x+

π

4

)∈[

π

3

，

13

12

π]，利用余弦函数的值域，求出 f（x）的值域．

解答：解：（1）：∵f(x)=

a

•

b

=(cos

x

2

+sin

x

2

)•(cos

x

2

-sin

x

2

)+(-sin

x

2

)•2cos

x

2

=cos2

x

2

-sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx
=

2

(cosx•

2

2

-sinx•

2

2

)=

2

cos(x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=2π，
由x+

π

4

=kπ+

π

2

可得：x=kπ+

π

4

∴函数图象的对称中心为(kπ+

π

4

，0) k∈Z．
（2）∵ 

a

⊥

b

∴

a

.

b

=0

，

即

2

cos(x+

π

4

)=0∴x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴x=kπ+

π

4

，k∈Z．
（3）x∈[

π

12

，

5π

6

]得(x+

π

4

)∈[

π

3

，

13

12

π]得
cos(x+

π

4

)∈[-1，

1

2

]
∴f(x)=

2

cos(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

2

]
故 当x∈[

π

12

，

5π

6

]时，f（x）的值域是[-

2

，

2

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式与两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．