Question

（2012•湖北模拟）已知函数

a

=(cos2x，-1)，

b

=(1，cos(2x-

π

3

))，设f(x)=

a

•

b

+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（x）的解析式，可得周期，由整体法可得单调区间；（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-

π

6

），原问题可转化为方程sin（2x-

π

6

）=1+

k

2

在区间（0，π）上恰有两根，可得不等式-1＜1+

k

2

＜1且1+

k

2

≠-

1

2

，解之即可．

解答：解：（1）由题意可得f（x）=

a

•

b

+1=cos2x-cos（2x-

π

3

）+1
=cos2x-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=1-sin（2x-

π

6

），所以其最小正周期为π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
故函数的单调递减区间为：（kπ-

π

6

，kπ+

π

3

），k∈Z，
（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-

π

6

）
因为x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，
即方程sin（2x-

π

6

）=1+

k

2

在区间（0，π）上恰有两根，
∴-1＜1+

k

2

＜1且1+

k

2

≠-

1

2

，
解得-4＜k＜0，且k≠-3

点评：本题为三角函数与向量的结合，涉及三角函数的周期单调性和函数的零点，属中档题．