Question

9．已知数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和，如果集合M={S|S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$}，则集合M的子集的个数为7．

Answer 1

分析 分q=1和q≠1求出S_n和S_2n求得数列极限．对于q≠1时再分|q|＜1、|q|＞1分类求得数列极限．

解答 解：①当q=1时，S_n=n，S_2n=2n，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{2n}$=$\frac{1}{2}$，
所以M={$\frac{1}{2}$}；
②当q≠1时，S_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，S_2n=$\frac{1-{q}^{2n}}{1-q}$，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1-{q}^{n}}{1-q}}{\frac{1-{q}^{2n}}{1-q}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{q}^{n}}$．
i）当|q|＜1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{q}^{n}}$=1．
所以M={1}；
ii）当|q|＞1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{q}^{n}}$=0．所以M={0}；
综上所述，所以M={$\frac{1}{2}$，0，1}，此时集合M的真子集有2³-1=7．
综上所述，集合M的真子集有7个．
故答案是：7．

点评 本题考查了子集与真子集，等比数列的前n项和，数列极限的求法，训练了分类讨论的数学思想方法，是中档题．