Question

18．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+a
（1）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为$\frac{3}{2}$，求f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（2）在（1）的条件下，把函数f（x）的图象右平移$\frac{π}{6}$单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x），已知a，b，c分别△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且g（B）=1，求$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{1}{2}$，由题意可得a的方程，解方程可得a=0，可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，易得函数的单调递增区间和对称轴方程为；
（2）由图象变换可得g（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由等比数列和余弦定理可得A=B=C=$\frac{π}{3}$，代值计算可得答案．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+a
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+a=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{1}{2}$∈[a，a+$\frac{3}{2}$]，
∴a+a+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得a=0，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z），
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
∴对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）把函数f（x）的图象右平移$\frac{π}{6}$单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，
得到函数g（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的图象，
又a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
又角B为锐角，且g（B）=sin（B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$
由余弦定理可得ac=b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴（a-c）²=0，即a=c，∴A=C=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查三角函数公式，涉及降幂公式和余弦定理以及数列的知识，属中档题．