Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，则
①；
②；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

【答案】分析：先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）
∵
∴2×+θ=kπ+
∴θ=kπ+
∴f（x）═sin（2x+kπ+）=±sin（2x+）
对于①=±sin（2×+）=0，故①对
对于②，|f（）|＞|f（）|，故②错
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数
对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，
且|b|＞，此时平方得b²＞a²+b²这不可能，矛盾，
∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错
故答案为：①③．
点评：本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．