题目内容

如图，已知点A是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右顶点，若点C(
3
2
，
3
2
)在椭圆上，且满足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)时，求△OMN面积的最大值．
（Ⅰ）∵点C(
3
2
，
3
2
)在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，
∴
3
4a2
+
3
4b2
=1，
∵
OC
•
OA
=
3
2
，
∴
3
2
a=
3
2
，解得a=3，∴b=1．
∴椭圆的方程为
x2
3
+y2=1．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵
OM
+
ON
=m
OC
，
∴
x1+x2=
3
2
m
y1+y2=
3
2
m
，
x12
3
+
y12
1
=1
x22
3
+
y22
1
=1
⇒
(x1+x2)(x1-x2)
3
+(y1+y2)(y1-y2)=0⇒
y1-y2
x1-x2
=-
1
3

设直线l：y=-
1
3
x+n，
由
y=-
1
3
x+n
x2
3
+
y2
1
=1
，得：4y2-6ny+3n2-1=0
则y1+y2=
3n
2
y1y2=
3n2-1
4
，
∴|MN|=
(1+9)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
10(1-
3
4
n2)
，
点O到直线l的距离d=
|3n|
10
，
∴S=
1
2
•
10
2
•
4-3n2
•
3
10
•|n|
=
3
4
•
3n2(4-3n2)

≤
3
4
•
3n2+4-3n2
2
=
3
2
．
当且仅当3n2=4-3n2，n=±
6
3
．
∵m∈（0，2），∴m=
2
．
∴当m=
2
时，△OMN面积的最大值为
3
2
．
练习册系列答案
相关题目
己知斜率为1的直线l与双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
已知双曲线C的渐近线为y=±
3
x且过点M（1，
2
）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值．
已知椭圆C1：
x2
2
+y2=1和圆C2：x2+y2=1，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆C1的右焦点．
（1）若点P是曲线C2上位于第二象限的一点，且△APF的面积为
1
2
+
2
4
，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．
已知定点A（2，2），M在抛物线x2=4y上，M在抛物线准线上的射影是P点，则MP-MA的最大值为（　　）
A．1B．
5
C．
7
D．5-2
2
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
10
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
已知动圆过定点D（1，0），且与直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C；
（2）过定点D（1，0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
2
3
3
，且过点P（
6
，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（O为坐标原点），求实数k的取值范围．

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