Question

已知双曲线C的渐近线为y=±

3

x且过点M（1，

2

）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值．

Answer 1

（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，可设方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
则

b a = 3 1 a2 - 2 b2 =1

，解得

a2= 1 3 b2=1

，
∴双曲线C的方程为3x²-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=ax+1 3x2-y2=1

，化为（3-a²）x²-2ax-2=0，（3-a²≠0）．
∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，∴△=4a²+8（3-a²）＞0，化为a²＜6．
∴x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

．（*）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴（1+a²）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+a2)

3-a2

+

2a2

3-a2

+1=0，
化为a²=1．满足△＞0．
∴a=±1．