题目内容
已知函数f（x）=asinx•cosx-
acos2x+
a+b（a＞0）
（1）当a=2，b=0时，写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设x∈[0，
]，若f（x）的最小值是-2，最大值是
，求实数a，b的值．
| 3 |
| ||
| 2 |
（1）当a=2，b=0时，写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设x∈[0，
| π |
| 2 |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据正弦函数的性质求得函数的单调减区间．
（2）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据x的范围和正弦函数的单调性确定函数的最大和最小值的表达式，列方程求得a和b．
（2）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据x的范围和正弦函数的单调性确定函数的最大和最小值的表达式，列方程求得a和b．
解答：
解：（1）f（x）=2sinxcosx-2
cos2x+
=sin2x-
cos2x=2sin（2x-
），
由2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
，解得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z，
∴函数的单调减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．
（2）f（x）=a（
sin2x-
cos2x）+b=asin（2x-
）+b，
∵x∈[0，
]，
∴2x-
∈[-
，
]，
∴sin（2x-
）∈[-
，1]，
∴
或
，
求得a=2，b=
-2，或a=-2，a=
+2．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 5π |
| 6 |
∴函数的单调减区间为[kπ+
| 5 |
| 12 |
| 5π |
| 6 |
（2）f（x）=a（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sin（2x-
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴
|
|
求得a=2，b=
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．第2问中注意对a大于0和a小于0分情况求解．
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