Question

判断函数y=

2

x-1

在区间[2，6]上的单调性，并求该函数最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用单调性的定义可判断函数的单调性，由单调性可得函数的最值．

解答： 解：设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f （x₁）-f （x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2≤x₁＜x₂≤6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f （x₁）-f （x₂）＞0，即f （x₁）＞f （x₂），
∴y=

2

x-1

在区间[2，6]上是减函数，
∴y=

2

x-1

在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x=2时y_max=2；当x=6时，ymin=

2

5

．

点评：该题考查函数的单调性及其应用，属基础题，定义是判断函数单调性的基本方法，要熟练掌握．