Question

设函数f(x)=

-1(x?0) x2-1(0≤x≤1) x+3(x?1)

（1）求f（x）在x=0处的左右极限，并判断f（x）在x=0处是否有极限，是否连续；
（2）判断f（x）在x=1、x=2是否连续．

Answer 1

（1）∵

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0+

(x2-1)=-1，

lim

x→0-

f(x)=

lim

x→0-

(-1)=-1，

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=-1，
又f（0）=0²-1=-1．
∴f（x）在x=0处有极限且连续．

（2）

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

(x+3)=4，

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(x2-1)=0，
∴

lim

x→1+

f(x)≠

lim

x→1-

f(x)，即f（x）在x=1处极限不存在，也不连续；
   x=2在f（x）的连续区间（1，+∞）内，
故f（x）在x=2处是连续的．