题目内容

(2012•淮北一模)设函数f(x)=
1+x1-x
e-ax

(1)写出定义域及f′(x)的解析式,
(2)设a>O,讨论函数y=f(x)的单调性.
分析:(1)根据分母不能为0,求出f(x)的定义域,根据求导的乘法法则,对f(x)进行求导;
(2)已知a>0,利用导数研究函数的单调性,先令f′(x)=0.,求出极值点,从而求解;
解答:解:(1)∵函数f(x)=
1+x
1-x
e-ax

∴1-x≠0,∴x≠1,
∴f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),
∴f′(x)=e-ax(-a)×
1+x
1-x
+
1-x-(1+x)×(-1)
(1-x)2
×e-ax=
ax2+2-a
(1-x)2
e-ax
(3分);
(2)∵a>O,f(x)=
ax2+2-a
(1-x)2
e-ax

①当0<a≤2时,f'(x)≥0,所以,f(x)在(-∞,1),(1,+∞)上为增函数     (5分)
②当a>2,由f′(x)=
ax2+2-a
(1-x)2
e-ax
>0,得ax2+2-a>0,
解得,x>
a-2
a
或x<-
a-2
a

此f(x)在 x>
a-2
a
或x<-
a-2
a
上为增函数;
(-
a-2
a
a-2
a
)
上有f′(x)<0为减函数(12分)
∴综上①②可得:
f(x)在(-∞,
a-2
a
),(
a-2
a
,1),(1,+∞)上为增函数,
(-
a-2
a
a-2
a
)
上是减函数(12分).
点评:此题主要考查利用导数研究函数的单调性,解此题的关键是对f(x)要正确求导,f(x)的表达式比较复杂,注意计算时要仔细,此题是一道基础题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网